多边形面积符号怎样反映顶点绕行方向：八组凹边界的绕行方向与面积·练习18

地图区域的边界点按不同方向走一圈，带符号面积会改变正负，但实际覆盖面积不会因此变成负数。用一个矩形挖去上边凹口的例子，可以同时核对边界公式和直观分块。

本篇使用一组可以手算或逐行复查的虚构游戏记录。先读清操作顺序与边界，再看完整过程；它不是某一款现有游戏的隐藏公式，也不要求读者安装工具。

规则与输入

坐标横向右、纵向上，八个顶点组成没有自交的凹多边形。按给定顺序将相邻点的横纵交叉乘积作差并求和，最后除二得到带符号面积；最后一点必须接回第一点。另比较倒序顶点。

八组外框上边带矩形凹口的独立边界，均包含闭合的最后一条边。

逐步计算与结果

第1组外框11×5，凹口宽3、深2，平移[-1, -8]，顶点[[-1, -3], [3, -3], [3, -5], [6, -5], [6, -3], [10, -3], [10, -8], [-1, -8]]。逐边交叉差[12, -6, 15, 12, 12, -50, -88, -5]，合计-98，带符号面积-49，倒序为49，实际面积49。

第2组外框13×7，凹口宽1、深2，平移[-4, 1]，顶点[[-4, 1], [9, 1], [9, 8], [1, 8], [1, 6], [0, 6], [0, 8], [-4, 8]]。逐边交叉差[-13, 63, 64, -2, 6, 0, 32, 28]，合计178，带符号面积89，倒序为-89，实际面积89。

第3组外框11×10，凹口宽5、深5，平移[-2, 3]，顶点[[-2, 3], [9, 3], [9, 13], [7, 13], [7, 8], [2, 8], [2, 13], [-2, 13]]。逐边交叉差[-33, 90, 26, -35, 40, 10, 52, 20]，合计170，带符号面积85，倒序为-85，实际面积85。

第4组外框12×9，凹口宽4、深7，平移[-6, 1]，顶点[[-6, 10], [-1, 10], [-1, 3], [3, 3], [3, 10], [6, 10], [6, 1], [-6, 1]]。逐边交叉差[-50, 7, -12, 21, -30, -54, 12, -54]，合计-160，带符号面积-80，倒序为80，实际面积80。

第5组外框9×5，凹口宽1、深1，平移[5, -7]，顶点[[5, -7], [14, -7], [14, -2], [11, -2], [11, -3], [10, -3], [10, -2], [5, -2]]。逐边交叉差[63, 70, -6, -11, -3, 10, -10, -25]，合计88，带符号面积44，倒序为-44，实际面积44。

第6组外框6×9，凹口宽3、深6，平移[-8, -3]，顶点[[-8, 6], [-6, 6], [-6, 0], [-3, 0], [-3, 6], [-2, 6], [-2, -3], [-8, -3]]。逐边交叉差[-12, 36, 0, -18, -6, 18, -18, -72]，合计-72，带符号面积-36，倒序为36，实际面积36。

第7组外框8×11，凹口宽1、深10，平移[4, -6]，顶点[[4, 5], [5, 5], [5, -5], [6, -5], [6, 5], [12, 5], [12, -6], [4, -6]]。逐边交叉差[-5, -50, 5, 60, -30, -132, -48, 44]，合计-156，带符号面积-78，倒序为78，实际面积78。

第8组外框11×10，凹口宽7、深1，平移[6, -2]，顶点[[6, 8], [7, 8], [7, 7], [14, 7], [14, 8], [17, 8], [17, -2], [6, -2]]。逐边交叉差[-8, -7, -49, 14, -24, -170, -22, 60]，合计-206，带符号面积-103，倒序为103，实际面积103。

逐组用外框减凹口核验绝对面积，正负只随绕行方向变化，平移不增加或减少覆盖。

怎样独立复核

不使用边界求和，直接用外矩形面积减去凹口矩形面积，应该等于带符号面积绝对值。倒序只改变符号，平移全部点不改变面积；这些是本例的独立交叉检查。

很多图像坐标的纵轴向下，视觉顺逆时针的解释会反过来，应先说明坐标约定。自交边界需要额外定义填充规则，不能直接拿这里的绝对值当作任何复杂路径的覆盖面积。

练习时可以只改变一个输入，再预测哪一步会最先改变。保留中间记录，检查空状态、相等数值和刚好落在边界的情况。最终结果碰巧相同，并不能证明两个过程等价；反过来，采用不同规则得出不同结果，也不应立即视作程序故障。